Section: New Results

Théorie spectrale max-plus et géométrie métrique/Max-plus spectral theory and metric geometry

Introduction

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Cormac Walsh.

Étant donné un noyau $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$, on peut lui associer le problème spectral max-plus

dans lequel on cherche le vecteur propre $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ et la valeur propre correspondante $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$. Comme nous l'avons rappelé dans les § 3.2 et 3.3 , le problème spectral (9 ) intervient en contrôle ergodique: l'ensemble $S$ est l'espace des états, et l'application $a(x,y)$ fournit le gain associé à la transition $x\to y$. Le cas où $S$ est fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent également lorsque $S$ est compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité.

Dans  [61] , nous avons considéré le cas où $S$ est non compact. Lorsque $\lambda =0$, l'espace propre est analogue à l'espace des fonctions harmoniques défini en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. En introduisant l'analogue max-plus de la frontière de Martin, nous avons obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution $u$ de (9 ) peut être représentée sous la forme :

où ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où ${\mu }_u$ joue le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré aussi que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de “quasi-géodésiques”. La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horo-fonctions (fonctions de Busemann généralisées), ou horo-frontière. Ces résultats inspirent les travaux des sections suivantes, qui portent sur des cas remarquables d'espaces métriques (§ 6.1.3 ) ou sur des applications en théorie des jeux (§ 6.1.2 ).

English version

Let the kernel $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ be given. One may associate the max-plus spectral equation (9 ), where the eigenvector $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ and the eigenvalue $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$ are unknown. As we recalled in § 3.2 and refmonotone, this spectral problem arises in ergodic optimal control: the set $S$ is the state space, and the map $a(x,y)$ is the transition reward. The case when $S$ is finite is classical, a precise spectral theorem is known, with a characterisation of the eigenspace in terms of a critical graph. Some results have been shown when $S$ is compact, assuming that the kernel $a$ satisfies some regularity properties.

In  [61] , we considered the case where $S$ is non-compact. When $\lambda =0$, the eigenspace is analoguous to the set of harmonic functions defined in classical or probabilistic potential theory. By introducing a max-plus analogue of the classical Martin boundary, we obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution $u$ of (9 ) may be represented as in (10 ) where ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and ${\mu }_u$ plays the role of the spectral measure. We also showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain “almost-geodesics”. The max-plus Martin boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions), or horoboundary. These results have inspired the work of the next sections, which deal either with interesting examples of metric spaces (§ 6.1.3 ) or with applications to zero-sum games (§ 6.1.2 ).

Asymptotiques d'itérées d'applications contractantes au sens large et jeux à somme nulle en horizon long/Asymptotics of iterates of nonexpansive mappings and zero-sum games

Participants : Jérôme Bolte, Stéphane Gaubert, Guillaume Vigeral.

On s'intéresse ici à l'existence du paiement moyen pour les jeux répétés, et plus généralement, à l'existence du vecteur de “taux de fuite” ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ où $f$ est une application de ${ℝ}^n$ dans lui même, nonexpansive pour une norme quelconque. Dans le cas particulier des jeux, $f$ est un opérateur de Shapley, qui est nonexpansif pour la norme sup. On montre dans [45] que la limite existe si l'application $f$ est définissable dans une structure o-minimale. Ceci généralise des résultats de Bewley, Kohlberg, et Neyman, qui montraient que la limite existe si $f$ est semi-algébrique. L'extension au cas o-minimal permet notamment de traiter des opérateurs de type “log-exp” apparaissant en contrôle sensible au risque. Ce travail traite aussi de la question de savoir si un jeu dont les fonctions de paiement et de transition sont définissables dans une structure o-minimale admet un opérateur de Shapley $f$ définissable. Un contre exemple montre que $f$ n'est pas forcément définissable dans la même structure, mais l'on montre qu'il en est ainsi dès que les probabilités de transition ont une structure séparable.

English version

We study the question of the existence of the mean payoff for repeated games, and more generally, the existence of a vector of “escape rates”, ${lim}_k{f}^k\left(x\right)/k$ , where $f$ is a self-map of ${ℝ}^n$, non-expansive in some norm. In the special case of zero-sum games, $f$ is a Shapley operator, and it is sup-norm nonexpansive. We showed in [45] that this limit does exist as soon as the map $f$ is definable in an o-minimal structure. This generalizes results of Bewley, Kohlberg, and Neyman, who showed that this limit exists if $f$ is semi-algebraic. The extension to the case of o-minimal structures allows one in particular to deal with log-exp type operators arising in risk sensitive control. This work also adresses the question of knowing whether a game with definable payment and transition functions has a Shapley operator that is definable in the same structure. We gave a counter example showing that this may not be the case, but showed that the Shapley operator is definable as soon as the transition probabilities have a separable structure.

Isométries de la géométrie de Hilbert/Isometries of the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Bas Lemmens [Kent University, UK] .

L'un des intérêts de l'horo-frontière est de renseigner sur le groupe des isométries d'un espace métrique. En effet, ce groupe agit naturellement sur l'horo-frontière, et cette action peut parfois être mieux comprise que l'action du groupe sur l'espace d'origine.

Nous avons utilisé ces idées pour étudier le groupe des isométries pour la métrique de Hilbert. De La Harpe  [179] a donné plusieurs conjectures relatives à ce groupe. Nous avons montré dans [51] , en utilisant l'horo-frontière, que le groupe des isométries est exactement le groupe des transformations linéaires projectives à moins que le domaine ne soit une coupe d'un cône symmétrique non-Lorentzien. Dans ce dernier cas, le groupe linéaire projectif est d'index 2 dans le groupe des isométries. Le cas particulier où le domaine est un polytope a été traité précédemment dans  [136] .

Dans [51] nous déterminons aussi le groupe des isométries pour une métrique fortement reliée à la métrique de Hilbert, à savoir la métrique de Thompson sur un cone.

English version

One use for the horofunction boundary is to study the group of isometries of a metric space. This is because this group has a well defined action on the horoboundary and it is likely that in many cases this action will be easier to understand than the action on the space itself.

We have been applying these ideas to investigate the isometries of the Hilbert geometry. De La Harpe  [179] has previously made several conjectures about the isometry group of this space. We have shown [51] using the horofunction boundary that the isometry group is exactly the group of projective linear transformations unless the domain on which the geometry is defined is a cross section of a non-Lorentzian symmetric cone, in which case the projective linear group is of index two in the isometry group.

The special case when the domain is a polytope was previously considered in  [136] .

In the paper [51] , we also determine the isometry group of closely related metric, the Thompson geometry on a cone.

Consensus non-commutatif et contraction d'opérateurs de Kraus/Noncommutative consensus and contraction of Kraus maps

Participants : Stéphane Gaubert, Zheng Qu.

Dans le travail [47] , on s'est intéressé à la vitesse de convergence vers l'équilibre d'une itération de la forme $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, où $T$ est une application linéaire préservant un cône dans un espace de Banach $X$, telle que $T\left(e\right)=e$, pour un certain vecteur $e$ dans l'interieur du cône. On s'intéresse aussi à l'itération dans l'espace dual, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, lorsque $\langle y^0,e\rangle =1$.

Le cas classique est celui où $T\left(x\right)=Px$ est un opérateur de Markov. L'itération primale traduit alors la convergence vers le “consensus”, et l'itération duale traduit la convergence de la distribution de probabilité en temps $k$ vers l'état stationnaire. Dans ce cas, le taux de contraction (en un coup) $\kappa \left(P\right)$ d'une itération primale, pour la semi-norme de Hilbert ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, ainsi que le taux de contraction d'une itération duale, pour la métrique en variation totale, coïncident et sont caractérisés par une formule dûe à Doeblin et Dobrushin (coefficient d'ergodicité),

On a donné ici une généralisation de cette formule au cas d'opérateurs abstraits, qui s'applique en particulier aux opérateurs de Kraus qui interviennent en information quantique. Ces derniers opérent sur l'espace des matrices symmétriques, et sont de la forme

Dans [34] , nous avons étendu ces résultats aux flots non-linéaires sur les cones.

English version

In a recent work [27] , we studied the speed of convergence to equilibrium of an iteration of the form $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, where $T$ is a linear map preserving a cone in a Banach space $X$, such that $T\left(e\right)=e$, for some vector $e$ in the interior of the cone. We also considered the iteration in the dual space $X^{*}$, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, where $\langle y^0,e\rangle =1$.

The classical application arises when $T\left(x\right)=Px$ is a Markov operator. Then, the primal iteration represents the dynamics of consensus, whereas the dual iteration represents the evolution of the probability distribution as a function of time. Then, the (one-shot) contraction rate $\kappa \left(P\right)$ of the primal iteration, with respect to Hilbert's seminorm ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, and the contraction rate of the dual iteration, with respect to the total variation metric, coincide, and are characterized by a formula of Doeblin and Dobrushin (ergodicity coefficient),

We gave here a generalization of this formula to an abstract operators on a cone. This covers in particular the Kraus maps arising in quantum information theory. The latter maps act on the space of symmetric matrices. They can be written as

In [34] , we generalized these results to non-linear flows over cones.